黎曼幾何模型 黎曼幾何三角面
本文已影響1.05W人
本文已影響1.05W人
黎曼幾何 ,幾何學術語,是非歐幾何的一種,又叫做“橢圓幾何”,外文名叫做Riemannian geometry,創建時間19世紀中期,應用是在數學工具等。
黎曼幾何古典理論
下面給出部分的黎曼幾何古典理論。
一般理論
高斯-博內定理 :緊緻二維黎曼流形上高斯曲率的積分等於 2 π π --> χ χ --> ( M ) {displaystyle 2pi chi (M)} 這裏的 χ χ --> ( M ) {displaystyle chi (M)} 記作 M 的歐拉示性數。
納什嵌入定理 (兩個)被稱爲黎曼幾何的基礎理論。他們表明每個黎曼流形可以是嵌入歐幾里得空間 R .
理論
所有給出的定理中,都將用用空間的局部行爲(通常用曲率假設表述)來推出空間的整體結構的一些信息,包括流形的拓撲類型和"足夠大"距離的點間的關係。
受限截面曲率
1/4-受限 球定理. 若 M 是完備 n -維黎曼流形,其截面曲率嚴格限制於1和4之間,則 M 同胚於 n -球。
Cheeger's有限定理. 給定常數 C 和 D ,只有有限個(微分同胚的流形算作一個)緊 n -維黎曼流形,其截面曲率 | K | ≤ ≤ --> C {displaystyle |K|leq C} 並且直徑 ≤ ≤ --> D {displaystyle leq D} 。
Gromov的幾乎平坦流形. 存在一個 ϵ ϵ --> n > 0 {displaystyle psilon _{n}>0} 使得如果一個 n -維黎曼流形其度量的截面曲率 | K | ≤ ≤ --> ϵ ϵ --> n {displaystyle |K|leq psilon _{n}} 且直徑 ≤ ≤ --> 1 {displaystyle leq 1} ,則其有限覆蓋微分同胚於一個零流形.
正曲率
正截面曲率
靈魂定理 若 M 是一個不緊的完備正曲率 n -維黎曼流形,則它微分同胚於 R .
Gromov的貝蒂數定理 有一個常數 C=C(n) 使得若 M 是一個由正截面曲率的緊連通 n -維黎曼流形,則它的貝蒂數之和不超過 C .
正裏奇曲率
Myers定理. 若一個緊黎曼流形有正Ricci曲率則它的基本羣有限。
分裂定理. 若一個完備的 n -維黎曼流形有非負Ricci曲率和一條直線(在任何區間上的距離都極小的測地線)則它等度同胚於一條實直線和一個有非負Ricci曲率的完備( n -1)-維黎曼流形的直積。
Bishop's不等式. 半徑爲 r 的球在一個有正Ricci曲率的完備 n -維黎曼流形中的體積不超過歐幾里得空間中同樣半徑的球的體積。
Gromov's緊緻性定理. 所有正Ricci曲率且直徑不超過 D 的黎曼流形在Gromov-Hausdorff度量下是仿緊的。
數量曲率
n -維環不存在有正數量曲率的度量。
若一個緊 n -維黎曼流形的單射半徑 ≥ ≥ --> π π --> {displaystyle geq pi } ,則數量曲率的平均值不超過 n ( n -1)。
負曲率
負截面曲率
任何有非正截面曲率的單連通黎曼流形的兩點有唯一的測地線連接。
若 M 是一個有負截面曲率的完備黎曼流形,則基本羣的任何可交換子羣同構於整數羣 Z 。
設V 是一 R {displaystyle mathbb {R} } -rank ≥ ≥ --> {displaystyle geq } 2的緊緻不可約局部對稱空間,設V是一截面曲率 K ≤ ≤ --> 0 {displaystyle Kleq 0} 的緊緻 C ∞ ∞ --> {displaystyle C^{infty }} 黎曼流形,若 v o l ( V ) = v o l ( V ∗ ∗ --> ) {displaystyle vol(V)=vol(V^{*})} ,且 π π --> 1 ( V ) = π π --> 1 ( V ∗ ∗ --> ) {displaystyle pi _{1}(V)=pi _{1}(V^{*})} ,則 V {displaystyle V} 與 V ∗ ∗ --> {displaystyle V^{*}} 等距。
負裏奇曲率
任何有負裏奇曲率的緊黎曼流形有一個離散的等距同胚羣。
任何光滑流形可以加入有負裏奇曲率的黎曼度量。
參考文獻
Marcel Berger, Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century , (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4. (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)
Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis , (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 (Provides a formal introduction, written at the grad-student level.)
Peter Peterson, Riemannian Geometry , (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4. (Provides an introduction, presented at an undergrad level.)
奧斯曼土耳其蘇丹蘇萊曼:奧斯曼帝國走向了巔峯
木華黎如何從奴隸變成國王 木華黎後代都有誰
足球巨星梅西:巴黎聖日耳曼足球俱樂部有怎樣的歷史?
《如若巴黎不快樂》阮曼君喜歡的人是誰?她的結局是什麼
《如若巴黎不快樂》阮曼君的前男友是誰?馮伯文成爲最大渣男
揭祕:木華黎是誰?木華黎與元朝的建立有何關係
《如若巴黎不快樂》佟卓堯阮曼君領證結婚,佟畫夫婦終於撒糖
《如若巴黎不快樂》小說結局是什麼?佟卓堯阮曼君最後在一起嗎
《如若巴黎不快樂》佟卓堯阮曼君在一起了嗎?結局收穫完美愛情
波恩哈德·黎曼有哪些傑出貢獻?爲相對論鋪平了道路
黎族番陽峒是啥樣?黎族人爲何住在峒裏
《如若巴黎不快樂》阮曼君醉酒後說了 什麼,張翰只說了四個字
《如若巴黎不快樂》戴靖傑喜歡誰?他爲什麼對阮曼君由愛生恨
《冰糖燉雪梨》黎語冰和棠雪分手是第幾集 黎語冰和棠雪分手的原因是什麼
爲何說黎族的獨木舟是黎族古老文化標誌
二戰期間巴黎起義的照片 法軍進入巴黎後受到了巴黎百姓的熱情擁戴
黎族爲何愛吃米?黎族的特色主食都有啥
二戰中的5萬美國逃兵:諾曼底登陸後美軍逃兵肆虐巴黎
大仙衙門第29集劇情 日月兩族不合是紅萼雙蕖陰謀
古代有僞造聖旨的可能嗎 僞造聖旨的難度到底有多大
隋朝滅亡後,和李淵父子爭奪天下的那些勢力首領們,最終都
公孫瓚手下有哪些謀士和大將?他們有哪些貢獻?
揭祕古代歷史上的流氓皇帝劉邦爲何會怕周昌
歷史上端午節是何起來?爲何會有紀念屈原的說法?
魯道夫二世是誰?神聖羅馬帝國皇帝魯道夫二世的生平
莫里哀的生平簡介,生平都經歷哪些事情?
伐崇令:古代最早的環保法規
漢武帝留下四位輔政大臣,爲何霍光能獨掌大權呢?
武則天的乾陵在哪?爲何說乾陵是最難挖的古墓
甘肅冒賑案殺了多少官員?時間發生在哪一年?
抗倭英雄戚繼光第17集劇情:戚繼光軍營初見規模
萬歲本該是皇帝的標配 他一個大臣爲什麼能叫萬歲閣老
三監之亂是什麼意思?具體含義是什麼?