畢達哥拉斯定理是什麼?畢達哥拉斯定理的內容
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勾股定理是一個基本的幾何定理,指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形,並且直角邊中較小者為勾,另一長直角邊為股,斜邊為弦,所以稱這個定理為勾股定理,也有人稱商高定理。
勾股定理現約有500種證明方法,是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一,用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一,也是數形結合的紐帶之一。在中國,商朝時期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出並證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派,他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和。
在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設△ABC為一直角三角形,其中A為直角。從A點劃一直線至對邊,使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二,其面積分別與其餘兩個正方形相等。
在這個定理的證明中,我們需要如下四個輔助定理:
如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等,則兩三角形全等。(SAS)
三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。
任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積(據輔助定理3)。
歐幾里得證法
證明的思路為:從A點劃一直線至對邊,使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二,把上方的兩個正方形,通過等高同底的三角形,以其面積關係,轉換成下方兩個同等面積的長方形。
設△ABC為一直角三角形,其直角為∠CAB。
其邊為BC、AB和CA,依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
畫出過點A之BD、CE的平行線,分別垂直BC和DE於K、L。
分別連接CF、AD,形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G共線,同理可證B、A和H共線。
∠CBD和∠FBA都是直角,所以∠ABD=∠FBC。
因為AB=FB,BD=BC,所以△ABD≌△FBC。
因為A與K和L在同一直線上,所以四邊形BDLK=2△ABD。
因為C、A和G在同一直線上,所以正方形BAGF=2△FBC。
因此四邊形BDLK=BAGF=AB2。
同理可證,四邊形CKLE=ACIH=AC2。
把這兩個結果相加,AB2+AC2=BD×BK+KL×KC
由於BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由於CBDE是個正方形,因此AB2+AC2=BC2,即a2+b2=c2。
此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的。
由於這個定理的證明依賴於平行公理,而且從這個定理可以推出平行公理,很多人質疑平行公理是這個定理的必要條件,一直到十九世紀嘗試否定第五公理的非歐幾何出現。
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