“羅素悖論”的內容如何?爲什麼說它是數學界的危機之一?
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一天,薩維爾村理髮師掛出一塊招牌:“村裏所有不自己理髮的男人都由我給他們理髮,我也只給這些人理髮。”於是有人問他:“您的頭髮由誰理呢?”理髮師頓時啞口無言。
因爲,如果他給自己理髮,那麼他就屬於自己給自己理髮的那類人。但是,招牌上說明他不給這類人理髮,因此他不能自己理。如果由另外一個人給他理髮,他就是不給自己理髮的人,而招牌上明明說他要給所有不自己理髮的男人理髮,因此,他應該自己理。由此可見,不管怎樣的推論,理髮師所說的話總是自相矛盾的。
這是一個著名的悖論,稱爲“羅素悖論”。這是由英國哲學家羅素提出來的,他把關於集合論的一個著名悖論用故事的形式通俗地表述出來。
1874年,德國數學家康托爾創立了集合論,很快滲透到大部分數學分支,成爲它們的基礎。到19世紀末,全部數學幾乎都建立在集合論的基礎之上。就在這時,集合論中接連出現了一些自相矛盾的結果,特別是1902年羅素提出的理髮師故事反映的悖論,它極爲簡單、明確、通俗。於是,數學的基礎被動搖了,這就是所謂的第三次“數學危機”。此後,爲了克服這些悖論,數學家們做了大量研究工作,由此產生了大量新成果,也帶來了數學觀念的革命。
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